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设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r...

显然齐次线性方程组 BX=0 的解都是 ABX=0 的解 对 ABX=0 的任一解 X0 A(BX0)=0 由于 r(A)=n, 齐次线性方程组 AX=0 只有零解 所以 BX0=0 所以 ABX=0 的解都是 BX=0 的解 故 ABX=0 与 BX=0 同解 所以 m-r(AB)=m-r(B) 所以 r(AB)=r(B)

AB 的列向量 可由 A的列向量线性表示 所以 r(AB)

最简单的证明方法是运用齐次方程组的解空间的知识: 记 B=(b1,b2,……,bs) , 由 AB=0 , 知 b1,b2,……,bs 是 Ax=0 的解 记 r(B)=r , 说明 b1,b2,……,bs 中有 r 个向量线性无关 即 Ax=0 的解空间S中至少有 r 个向量,即 dimS≥r 由解空间维度的关系: dimS...

AB=A 则AB-A=O 则A(B-E)=O 所以B-E为齐次线性方程AX=O的解。 则 R(B-E)

因为 AB=A 所以 A(B-E)=0 所以 B-E 的列向量都是 Ax=0 的解 由已知 r(A)=n, 所以 Ax=0 只有零解 所以 B-E 的列向量都是 零向量 所以 B-E=0 即有 B=E.

设r(A)=s,r(B)=t 则a1,a2,...,an的极大无关组为ai1,ai2,...,ais b1,b2,...,bn的极大无关组为bj1,bj2,...,bjt 因为a1,a2,...,an可由ai1,ai2,...,ais线性表示,b1,b2,...,bn可由bj1,bj2,...,bjt线性表示 所以a1-b1,a2-b2,...,an-bn可由ai1,ai2,.....

设A的列向量组为A1,A2,...An, B的列向量组为B1,B2,...,Bn. 则A-B的列向量组为A1-B1,A2-B2,...,An-Bn. 显然A-B的列向量组可由A的列向量组和B的列向量组共同表示, 注意到矩阵的秩等于矩阵的列秩等于矩阵的行秩, 所以r(A-B)

考虑两个线性空间: (1) B的列空间,即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩,等于B的秩,即r(B)。 (2) Ax=0的解空间,即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理,它的维数=n-r(A)。 现在有AB=0,所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说...

取A的列的线性无关组和B的列的线性无关组,它们(不论是否相关)可以表示出[A,B]的所有列

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