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设A为n阶矩阵,满足A²=A.试证:r(A)+ r(A-I)=n

请参考下图,利用条件与两个关于矩阵秩的定理证明这个等式。请采纳,谢谢!祝学习进步!

(结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的。例:取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n) 证法一: 令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集,则dim(U)=n-rank(A); 令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集,则dim(V)=...

A^2=E 则 (E-A)(E+A)=E-A^2=0 则E+A的列向量,都是(E-A)X=0的解 而此方程解空间的秩是n-R(E-A) 因此R(E+A) ≤n-R(E-A) 则R(E-A) + R(E+A)≤n 【1】 而R(E-A) + R(E+A)≥R(E-A + E+A) =R(2E) = n【2】 由【1】【2】,可得 R(E-A)+R(E+A)=n

你好!可以如图借用关于矩阵秩的两个定理来间接证明,其中的I就是单位阵E。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!

因为 A^2-A-2I=0 所以 (A-2I)(A+I) = 0 所以 r(A-2I) + r(A+I)

用E表示单位阵 由A^2=E,E-A^2=0,因此(E-A)(E+A)=0 因此(E+A)的列向量为方程(E-A)X=0的解向量,设r(E-A)=k,则(E-A)X=0的解空间为n-k维, 因此r(E+A)≤n-k,得:r(E-A)+r(E+A)≤n 又(E+A)+(E-A)=2E 则r(E+A)+r(E-A)≥r(2E)=n 矩阵秩的性质:r(A)+r...

rank(A)+rank(A-I)=n说明[n-rank(A-0I)] + [n-rank(A-I)] = n 所以A的特征值只有0和1,且几何重数加起来是n

A^3-A=-I ∴A-A^3=I ∴A(I-A^2)=I ∴A^(-1)=I-A^2

少个条件吧,“n为奇数时”

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