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设A为n阶矩阵,满足A²=A.试证:r(A)+ r(A-I)=n

请参考下图,利用条件与两个关于矩阵秩的定理证明这个等式。请采纳,谢谢!祝学习进步!

(结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的。例:取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n) 证法一: 令U={x∈R^n|Ax=0}为A的解集,则dim(U)=n-rank(A); 令V={x∈R^n|Ax=x}={x∈R^n|(A-I)x=0}为(A-I)的解集,则dim(V)=...

这个要用到多个结论. 证明: 因为 A^2=A 所以 A(A-I) = 0 所以 r(A)+r(A-I)

用E表示单位阵 由A^2=E,E-A^2=0,因此(E-A)(E+A)=0 因此(E+A)的列向量为方程(E-A)X=0的解向量,设r(E-A)=k,则(E-A)X=0的解空间为n-k维, 因此r(E+A)≤n-k,得:r(E-A)+r(E+A)≤n 又(E+A)+(E-A)=2E 则r(E+A)+r(E-A)≥r(2E)=n 矩阵秩的性质:r(A)+r...

但是r(A)等于多少,只是小于等于n而已。

因为 A^2-A-2I=0 所以 (A-2I)(A+I) = 0 所以 r(A-2I) + r(A+I)

A^3-A=-I ∴A-A^3=I ∴A(I-A^2)=I ∴A^(-1)=I-A^2

因为 A^2 = A 所以 A(A-I) = 0 所以 r(A)+r(A-I)

假定你的Aij表示代数余子式,结论里的是R(A)而不是R(a) 条件即adj(A)=A^T≠0 由adj(A)≠0得R(A)>=n-1 当n>2时,如果R(A)=n-1,那么R(adj(A))=1,矛盾,所以R(A)=n 当n=2时直接算出det(A)就行了

rank(A)+rank(A-I)=n说明[n-rank(A-0I)] + [n-rank(A-I)] = n 所以A的特征值只有0和1,且几何重数加起来是n

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